函數的性質與圖形判讀

函數 · 閱讀時間約 15 分鐘

函數是高中數學的核心語言。不論是代數、幾何還是微積分，處處都需要用函數來描述變量之間的關係。但很多同學只會算、不會看——拿到一個函數，能畫出圖形、說出性質，才算真正掌握。

一、函數的定義——什麼是函數？

簡單地說，函數是一種「對應關係」：每一個輸入（x 值），都對應到唯一一個輸出（y 值）。用 f(x) 來表示，讀作「f of x」。

f: X → Y，表示對每個 x ∈ X，存在唯一的 y ∈ Y 使得 y = f(x)

要特別注意「唯一」這個詞。如果同一個 x 對應到兩個不同的 y，那這就不是函數。例如：y² = x 這個關係，當 x = 4 時，y 可以是 2 也可以是 −2，所以不是函數。但 y = x² 是函數，因為每個 x 只對應一個 y。

定義域（Domain）是所有可能的輸入值集合。常見的限制：

值域（Range）是所有可能輸出值的集合。求值域通常比求定義域更複雜，需要根據函數的行為來推斷。

範例：f(x) = √(4 − x²) 的定義域？

根號內 ≥ 0 → 4 − x² ≥ 0 → x² ≤ 4 → −2 ≤ x ≤ 2 → 定義域：[-2, 2]

此時值域：√(0)~√(4) = [0, 2]

偶函數：f(−x) = f(x) → 圖形對 y 軸對稱。例如 f(x) = x²。

奇函數：f(−x) = −f(x) → 圖形對原點對稱。例如 f(x) = x³。

利用對稱性可以簡化計算——如果已知 f(x) 在 x > 0 時的行為，可以直接推知 x < 0 時的對應值。

當 x₁ < x₂ 時：

在圖形上，遞增函數的圖形往右上升，遞減函數的圖形往右下降。這個性質在未來學微分時會有更精確的判斷方式（f'(x) > 0 或 f'(x) < 0）。

如果 y = f(x) 是嚴格遞增或遞減的，則存在反函數 f⁻¹(y)，使得 x = f⁻¹(y)。圖形上，反函數的圖形是原始函數圖形對直線 y = x 的鏡射。

範例：f(x) = 2x + 3 的反函數？

y = 2x + 3 → x = (y − 3)/2 → f⁻¹(x) = (x − 3)/2

二次函數 f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）是高中最重要的函數之一。

頂點：(-b/2a, -D/4a)，其中 D = b² − 4ac

頂點的 x 座標是對稱軸的位置。當 a > 0 時，拋物線開口向上，有最小值；當 a < 0 時，拋物線開口向下，有最大值。

函數的學習要「算」與「看」並重。光會代公式計算是不夠的——能從代數式看出圖形的模樣、能從圖形讀出函數的性質，才算真正融會貫通。