不等式與線性規劃

不等式是代數的重要分支，它與等式最大的不同，在於解是一個範圍而非單一數值。不等式不只是一個數學工具，它在現實生活中幾乎無處不在：預算限制下如何最大化收益、食材配比如何滿足營養需求……這些問題本質上都是不等式問題。這篇文章會從基本不等式性質說起，逐步介紹一元二次不等式和二元一次不等式區域，最後延伸到實用的線性規劃方法。

一、不等式的基本性質

處理不等式首先要牢記幾個基本性質，這些性質決定了我們在運算時什麼情況下要改變不等號的方向：

• 加法不改變方向：如果 a < b，則 a + c < b + c
• 減法不改變方向：如果 a < b，則 a - c < b - c
• 乘法要考慮正負：若 c > 0，ac < bc；若 c < 0，ac > bc（方向反轉）
• 除法同樣要考慮正負：若 c > 0，a/c < b/c；若 c < 0，a/c > b/c（方向反轉）
• 正數不受影響：若 a > 0，則 a 的任何次方仍是正數

最容易犯錯的地方是乘除負數時忘記翻轉不等號。另一個常見陷阱是兩邊同時乘上一個未知數——在確認這個未知數是正數之前，不能直接乘。

二、一元二次不等式

一元二次不等式的一般形式是 ax² + bx + c > 0（或其他關係符號）。解這種不等式的標準做法是：先把方程式 ax² + bx + c = 0 的兩個根求出來（可能兩個實根、一個重根、或無實根），再根據拋物線的圖形來判斷哪些區間滿足不等式。

這裡的關鍵在於 a 的正負決定了拋物線的開口方向。當 a > 0 時，拋物線開口向上，頂點是最小值；當 a < 0 時，拋物線開口向下，頂點是最大值。根據根的情況和不等號的方向，我們可以畫出大致的圖形來判斷。

具體來說：當 a > 0 且 Δ > 0 時，ax² + bx + c > 0 的解是 x < x₁ 或 x > x₂（拋物線在 x 軸上方的兩段）；ax² + bx + c < 0 的解是 x₁ < x < x₂（拋物線在 x 軸下方的一段）。

三、二元一次不等式與半平面

當不等式含有兩個變數時，圖形就不再是數線上的區間，而是平面上的區域。二元一次不等式 Ax + By + C > 0 在座標平面上代表一個半平面——也就是一條直線某一側的全部區域。

判斷哪一側是解的區域，有個簡單的方法：把原點 (0, 0) 代入不等式，如果滿足，則原點所在的那一側就是解的區域（前提是直線不通過原點）。如果不滿足，則另一側是解的區域。

例如，不等式 2x + 3y - 6 < 0，把 (0, 0) 代入得 -6 < 0 成立，所以原點那一側（含原點的半平面）就是解的區域。我們可以在座標平面上畫出直線 2x + 3y - 6 = 0，然後用陰影標示出正確的半平面。

四、聯立不等式與可行解區域

當有多個不等式同時成立時，解是各個半平面的交集。例如，假設我們有兩個不等式 x ≥ 0、y ≥ 0、2x + y ≤ 6，這三個不等式同時成立的區域就是三條直線所圍出的三角形區域（包括邊界）。這個區域叫做可行解區域。

聯立不等式問題的關鍵在於：先把每個不等式畫成半平面，然後找出所有半平面重疊的區域。如果存在這樣的區域，那麼不等式組有解；如果不存在（即各區域沒有交集），則不等式組無解。

五、線性規劃——求極值的方法

線性規劃是應用數學中最重要的領域之一，它要解決的問題是：在滿足一組線性不等式（約束條件）的情況下，找到使目標函數最大（或最小）的解。

目標函數通常寫成 z = ax + by，我們要找的就是在可行解區域中讓 z 最大或最小的 (x, y)。線性規劃問題有個很美妙的性質：極值一定出現在可行解區域的頂點（如果存在唯一的話）。因此我們只需要比較各個頂點的目標函數值，就能找到最佳解。

實作步驟是：先把約束條件全部畫成半平面，找出可行解區域（通常是個多邊形），然後計算多邊形每個頂點的座標，帶入目標函數，比較大小找出極值。

六、實際應用舉例

線性規劃在現實生活中有大量應用。例如，一家工廠生產兩種產品 A 和 B，每種產品需要不同數量的原料和人工。假設產品 A 每單位利潤 30 元，需要 2 單位原料和 3 小時人工；產品 B 每單位利潤 40 元，需要 4 單位原料和 2 小時人工。工廠每週最多有 100 單位原料和 90 小時人工。要最大化每週利潤，應該如何分配兩種產品的產量？

這道題可以設 A 產品產量為 x，B 產品產量為 y，利潤 z = 30x + 40y，約束條件是 2x + 4y ≤ 100，3x + 2y ≤ 90，x ≥ 0，y ≥ 0。把約束條件畫出來後，可行解區域是個四邊形。算出各個頂點 (0,0)、(0,25)、(20,15)、(30,0) 的利潤分別是 0、1000、1020、900，所以每週應該生產 20 單位 A 產品和 15 單位 B 產品，能獲得最大利潤 1020 元。