機率論基礎與應用

機率論是統計的基石，而統計又是現代社會解讀數據的核心工具。這個章節從最簡單的古典機率出发，逐步引入條件機率與貝氏定理，最終構建起一套完整的機率思考框架。

一、古典機率——最基礎的起點

當所有結果發生的可能性相等時，事件 A 的機率定義為：

這個定義的關鍵前提是「等可能性」——擲一顆公正骰子，每個面出現的機會確實都是 1/6，但如果是賭博用的灌鉛骰子，就不能直接套用古典機率公式。

範例：袋子中有 3 顆紅球、5 顆白球，從中隨機抽出一球。抽到紅球的機率？

有利結果：3，白球結果：5，總結果：8 → P(紅) = 3/8 = 0.375

二、機率的基本性質

• 任何事件的機率在 0 到 1 之間：0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(空事件) = 0，P(樣本空間) = 1
• P(A') = 1 − P(A)（對立事件）
• 若 A ⊂ B，則 P(A) ≤ P(B)（包含關係）

三、加法公式——互斥與非互斥

當兩個事件 A 和 B 互斥（不能同時發生）時：

當 A 和 B 非互斥（可能同時發生）時：

範例：一副52張撲克牌，抽出紅心或一號牌的機率？

P(紅心) = 13/52，P(一號) = 4/52，P(紅心且一號) = 1/52（紅心一號）

P = 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52 = 4/13

四、乘法公式與條件機率

條件機率 P(A|B) 指的是「在 B 已經發生的前提下，A 發生的機率」。

範例：一個袋子有 3 紅、5 白，先抽一球（不放回），再抽一球，兩球都是紅球的機率？

P(第一紅) = 3/8

P(第二紅 | 第一紅) = 2/7（抽走一紅後，白球仍是5，紅球剩2）

P(兩紅) = (3/8) × (2/7) = 6/56 = 3/28

五、獨立事件

當一個事件的發生與否完全不影響另一個事件的機率時，兩事件獨立：

範例：擲兩次公正硬幣，兩次都是正面的機率？

第一次和第二次相互獨立 → P = (1/2) × (1/2) = 1/4

六、貝氏定理——有條件的逆轉

貝氏定理是機率論中最深刻的結果之一，它允許我們在知道「正向」機率時，計算「反向」的條件機率：

範例：某疾病檢測試劑的準確率為 99%（有病者99%驗陽、無病者99%驗陰）。已知台灣此疾病盛行率為 0.1%。某人驗陽，真正生病的機率是多少？

P(陽|病) = 0.99，P(陽|健康) = 0.01，P(病) = 0.001，P(健康) = 0.999

P(病|陽) = (0.99 × 0.001) / (0.99×0.001 + 0.01×0.999) ≈ 0.0902 ≈ 9%

這個結果往往出乎意料——即使檢測很準確，在低盛行率的情況下，偽陽性的數量仍然遠大於真陽性！

七、期望值——平均的意義

隨機變數 X 的期望值 E(X) 是所有可能結果的加權平均：

範例：某彩券定價 50 元，中獎率 1/100，獎金 2000 元。買這張彩券的期望收益？

E = (2000 − 50) × (1/100) + (−50) × (99/100) = 1950/100 − 4950/100 = −30 元

這表示每張彩券平均虧損 30 元——賭場的設計永遠是有利於莊家的。

結語

機率論告訴我們：隨機事件不是「沒有規律」，而是有其內在的統計規律。理解機率的思考方式，不只是為了解題，更是為了建立一套面對不確定性時的理性框架。