正弦定理與餘弦定理：解三角形的兩把萬能鑰匙

幾何 · 閱讀時間約 10 分鐘

解三角形——已知三角形的某些邊和角，求其他邊和角——是高中幾何的核心技能。當你發現用純粹的三角函數定義已經不夠用時，正弦定理和餘弦定理就是你的後援。這兩個定理幾乎能處理所有非直角三角形的邊角計算問題。

一、正弦定理——適用於已知兩角一邊

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R（R 為三角形外接圓半徑）

正弦定理的直觀理解：在一個固定大小的三角形中，邊越長，所對的角越大。因此邊長和對角的正弦值成正比，比例常數就是 2R（外接圓直徑）。

適用時機：已知兩角及任意一邊時，用正弦定理求其他邊；或已知兩邊及一對角時，求其他角。

注意：已知兩邊及夾角時，不能使用正弦定理——這時要用餘弦定理。

c² = a² + b² − 2ab cos C

餘弦定理是畢氏定理的推廣：當 cos C = 0（C = 90°）時，餘弦定理就退化為 c² = a² + b²（畢氏定理）。

適用時機：已知兩邊及其夾角時，用餘弦定理求第三邊；或已知三邊求任意角。

變形公式：cos A = (b²+c²−a²) / 2bc，這個變形在已知三邊時求角特別有用。

餘弦定理還可以用來快速判斷三角形的類型：

這個技巧在只知道三邊長、要求判斷三角形類型時特別好用，完全不需要計算角度。

根據已知條件的不同組合，解三角形可分為四種情況：

其中 SSA（又稱「曖昧情況」）是最複雜的情況，因為已知兩邊及其對角時，滿足條件的三角形可能有一個或兩個，也可能根本不存在。

結合正弦定理和基本面積公式，可以得到：

Δ = ½ × a × b × sin C = abc / 4R

其中 abc/4R 這個形式特別優美：三角形面積等於三邊乘積除以四倍外接圓半徑。

拿到解三角形的題目，先判斷已知條件的組合：兩角一邊用正弦，兩邊夾角用餘弦，三邊也用餘弦。記住這個簡單的決策樹，解三角形題目就能又快又準。

💡 練習建議：找10道不同類型的解三角形題目，每道題先強迫自己說出「這題該用正弦定理還是餘弦定理」，再動手算。說不出來就不要動筆。