二項分配與常態分配：離散與連續分布的經典模型

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在現實世界中，大多數隨機現象都可以用少數幾個「典型分布」來近似描述。二項分配和常態分配是其中最重要的兩個——前者是離散分布的經典，後者是連續分布的霸主。幾乎所有考試中的機率統計題，都離不開這兩個分配框架。

一、二項分配的條件與公式

二項分配適用於以下條件的實驗：n 次獨立試驗、每次只有兩種結果（成功或失敗）、成功機率固定為 p。

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)

其中 k 是成功次數，C(n,k) 是組合數。這個公式來自：選哪 k 次成功（C(n,k) 種）乘以這 k 次都成功（p^k）乘以剩餘 n−k 次都失敗（(1−p)^(n−k)）。

範例：投籃命中率 70%，投 10 球進 8 球以上的機率？

P(X≥8) = P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)。自己用計算機算一算，這個數值並不小。

二項分配 B(n,p) 的期望值和標準差有簡潔的公式：

E(X) = np　　SD(X) = √(np(1−p))

這兩個公式不需要死記——只要理解期望值是「平均成功次數」（n 試驗乘每次成功機率 p），標準差則反映了成功次數圍繞期望值分散的程度。

二項分配的圖形形狀取決於 n 和 p：當 p = 0.5 時，圖形最對稱；當 p < 0.5 時，圖形向右偏；當 p > 0.5 時，圖形向左偏。當 n 很大時，不論 p 是多少，二項分配都會趨近常態分配。

常態分配 N(μ, σ²) 的特點是：均勻、對稱、鐘形。這個分布的另一個名字是「高斯分布」，因為數學王子高斯是研究這個分布最深入的數學家。

標準常態分配 Z ~ N(0, 1)，機率密度函數 φ(z) = (1/√(2π)) × e^(−z²/2)

常態分配在自然界極為常見：人的身高、測量誤差、作物產量……只要一個變數是大量微小獨立因素的總和，它就近似於常態分配。這就是統計學中所說的「中央極限定理」。

任何常態分配 N(μ, σ²) 都可以透過標準化轉換為標準常態 N(0, 1)：

Z = (X − μ) / σ

這個公式的直觀意義是：觀測值偏離平均值多少個標準差。一旦轉換成 Z，就可以直接查標準常態分配表得到機率值。

常態分配有一個非常好記的性質：

這個法則是品質管制、考試評量等實際應用的基礎。例如：若某次考試分數呈常態分布，平均 65 分、標準差 10 分，那麼約 95% 的學生的分數會在 45 到 85 分之間。

二項分配和常態分配是高中統計的兩大核心分布。記住它們的適用條件、期望值公式和圖形特徵，在考試中遇到相關題目就能快速找到解題方向。